Раскрывая карты - как директору сообщить о оскорбительной переписке на рабочем компьютере

Всё Вы можете и сделали уже. Можете и далее действовать. Это рабочий комп и Вы ничего там не сикали про личное. Но на грани ст. 138 УК РФ действуете...

Да, хорошо их подставить в удовольствие.

НЕТ у вас такого права, и быть не может!" Согласно Федеральному закону №152-ФЗ «О персональных данных» от 27.07.2006 (в редакции от 24.04.2020) – персональными данными является любая информация, относящаяся прямо или косвенно к определенному или определяемому физическому лицу (являющемуся субъектом персональных данных), то есть к персональным данным относятся любые личные сведения о том или ином гражданине. Под распространением сведений понимается их сообщение виновным третьим лицам любым способом и в любой форме как на возмездной, так и безвозмездной основе. Квалифицирующим признаком данного преступления является факт использования служебного положения при совершении указанных действий, предусмотренный частью 2 статьи137 Уголовного кодекса Российской Федерации.

В части 2 данной статьи субъект специальный –это лицо, использующее для облегчения совершения преступления свое служебное положение, т.е. полномочия и привилегии, предоставленные по службе, в том числе на основе трудового договора (контракта).

Да, вы вправе данные факты сообщить руководителю учреждения.