Обязаны ли сотрудники центра вести переписку от имени Управления соцзащиты?

Действия начальника Управления СЗН неправомерны.

Для полного правового анализа - опишите ситуацию подробнее!

Ответ желательно со ссылкой на нормативную базу

Здравствуйте. Сотрудники обязаны дать на это свое письменное согласие, так как эта обязанность не предусмотрена должностной инструкцией и по сути считается дополнительной работой. Без этого согласия заставлять вести такую переписку никто не имеет права. Основание закона - Трудовой кодекс РФ

Смотрите свой трудовой договор и должностную инструкцию.

Действия начальника Управления СЗН неправомерны

В соответствии с абз. 3 п. 2 ст. 1, ст. 10, Федерального закона «О прокуратуре Российской Федерации», "Инструкции о порядке рассмотрения и разрешения обращений и приема заявителей в органах прокуратуры" (утв. Приказом Генпрокуратуры России от 30.01.2013 N 45) Прокуратура осуществляет надзор за соблюдением прав и свобод человека и гражданина, а также рассматривает, проверяет, и разрешают поданные заявления, жалобы, обращения и иные сообщения о нарушении прав и свобод человека и гражданина.

А поэтому Вам следует направить жалобу в Прокуратуру, для проведения проверки за незаконные действия, превышение полномочий, самоуправство и привлечение к ответственности (ст.10 ФЗ "О прокуратуре РФ" от 17.01.1992 N 2202-1).