Так как следователь отказался назначать

Нет, не можете направить в суд ходатайство.

1. Назначение государственного защитника на досудебной стадии — это обязанность дознавателя, следователя или прокурора (ч. 2-4 ст. 50 УПК РФ). Если следователь отказал в удовлетворении вашего ходатайства, его действия (или бездействие) можно обжаловать прокурору или в районный суд по месту производства предварительного расследования (ст. 125 УПК РФ). Подать такую жалобу через ГАС «Правосудие» технически возможно, но она будет направлена именно для проверки законности действий следователя, а не для непосредственного назначения вам адвоката.

2. ГАС «Правосудие» предназначена в первую очередь для электронного взаимодействия с судами (подачи исков, жалоб, ходатайств) после того, как дело уже поступило в суд, а также для отслеживания движения уже принятых к производству дел. Подача жалобы на действия следователя в порядке ст. 125 УПК РФ через эту систему формально возможна, но решение по существу будет принимать суд, а не следователь.

3. Если дело уже направлено в суд (после утверждения обвинительного заключения прокурором), но еще не принято судом к производству, копии документов должны быть вам вручены. После этого вы вправе обратиться непосредственно в суд с ходатайством о назначении защитника. Сделать это можно и через ГАС «Правосудие», выбрав соответствующий суд и тип обращения.

направить в суд ходатайство и все