Как узаконить наследование квартиры при наличии ошибки в фамилии свекрови?

Могут возникнуть трудности.

Ошибки и несоответствия в документах близких родственников в любом случае лучше своевременно устранять.

__________________

Договор дарения надёжнее, чем "перспектива унаследовать".

Договор дарения выгоднее оформить, чем завещание. Поскольку если отношения между свекровью и ее сыном испортятся, в случае заключения договора дарения она сможет отменить договор дарения только в ряде установленных законом случаях. Завещание может быть изменено сколько угодно раз в течение жизни наследодателя, и каждая последующая редакция (если она оформлена по всем правилам и заверена у нотариуса) отменяет предыдущую. Кроме того, в случае дарения муж сможет вступить в свои права владения сразу после государственной регистрации права, а в случае завещания по истечении 6 месяцев после смерти наследодателя. Однако в любом случае нужно оформлять правильно и договор дарения и завещание. Разница в написании ФИО имеет существенное значение.

"если есть ошибка в одной букве в фамилиии свекрови" - а в каких документах, где расхождения? Это нужно уточнить, без этого не ответить на вопрос.

"как узаконить через суд или договор дарения" - в суд обращаются в тех случаях, когда имеет место нарушение прав. В если нарушения нет, то "узаконить" оформляется гражданско - правовой сделкой (дарение/наследование).