Как оформить выписку и получить долю в квартире, не выезжая из города?

Выписаться - прописавшись по новому месту жительства.

Продать - выдав кому-либо доверенность.

Правила

регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации

(утв. постановлением Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713)

"31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;

"

Получить долю? Вы же пишете, что у вас уже есть 1/4. Вы, очевидно, хотите получить за нее деньги, т.е. продать. Для продажи вашей доли Вам придется соблюсти порядок продажи долевой собственности согласно ст.250 ГК РФ. Для прожажи доли вы имеете право выдать доверенность тому, кому доверяете провести сделку.