Как уволить сотрудника, который не появляется на работе и не выходит на связь?

В случае отсутствия работника на работе вы можете уволить его за прогул. Но надо очень грамотно это сделать. Помните, что законность увольнения по статье в суде обязан доказать работодатель (!). Любое нарушение процедуры может привести к восстановлению через суд и взысканию с Вас компенсации за всё время вынужденного прогула (куда войдёт и время судебного разбирательства, а оно может и полгода длиться). Поэтому надо крайне ответственно подойти к этой процедуре.

Вы не имеете права его уволить, пока не выясните причину отсутствия. Согласно ст. 81 ТК РФ прогулом признается отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены).

Откуда вы знаете, может он вам больничный принесет (в больнице, например, человек лежит без движения и без памяти), а вы его уволите.

Ждите, пока не объявится. Параллельно пишите письма, звоните, составляйте акты об отсутствии на рабочем месте на каждый день. В табеле учета рабочего времени пока ставятся неявки по невыясненным причинам. Появится, требуйте объяснений и предоставления оправдательных документов, если после получения объяснений в них будет необходимость

Согласно статье 193 ТК РФ до применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать от работника письменное объяснение. Если по истечении двух рабочих дней указанное объяснение работником не предоставлено, то составляется соответствующий акт.