Могу ли я (сын) сдавать квартиру, пока еще не вступив в права наследства? (еще не прошло 6 месяцев после смерти отца)

Да можете, так как право собственности приобретается с момента смерти наследодателя.

Для того, чтобы распоряжаться имуществом, Вы должны, по крайней мере, подтвердить правомочие собственника. С Ваших слов, Вы еще не вступили в права, поэтому и право у Вас не возникло. Оно возникает не с момента открытия наследства, а с момента его принятия (подачи заявления нотариусу). Остается открытым вопрос в какой части Вы будете наследником - полностью или в какой-то доле на квартиру. Для этого установлен 6-месячный срок для принятия наследства с момента его открытия. В этот срок все наследники имеют возможность заявить свои права. По истечении 6 месяцев станет понятно сколько человек претендует на квартиру и нотариусом будут определены доли каждого. Если Вы будете единственным наследником, то получите Свидетельство о праве на наследство и единолично сможете распоряжаться квартирой, в том числе, и сдавать ее в аренду. Если же наследников будет, по меньшей мере, двое, то возникнет право общей долевой собственности, и тогда вопрос распоряжения квартирой будет зависеть от согласия собственников. Поэтому, на мой взгляд, говорить о возможности сдачи квартиры в аренду, пока Вы не имеете документов о собственности, преждевременно.

Я являюсь прямым наследником. Из возможных ближайших - двоюродная сестра отца и ее сын - и то, они отказываются (на словах) от права претендовать на наследство.

Заявление на наследство у нотариуса будет подано в октябре - большие очереди в этих вопросах.

Таким образом, можно ли говорить о возможности сдачи квартиры после подачи заявления. Или же Вы говорите о времени, когда я вступлю в наследство после истечения шести месячного срока?