И если бабушка оформила бумагу по уходу, в дальнейшем, что может быть?

Для того, чтобы сын стал претендовать на квартиру необходимо согласие дочери на регистрацию сына в этой квартирет (см.п.1 ст.70 ЖК РФ)

Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи

П.1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

А также сын может претендовать на часть квартиры после смерти бабушки,если бабушка совместно с дочерью приватизирует квартиру.

Все остальное,чтобы не подписывала бабушка с сыном не будет иметь юридической силы.

Единственное,что необходимо дочери - четкое выполнение обязанностей по договору соц.найма со своей стороны.