Отказ работодателя подписать заявление на увольнение, написанное на фирменном бланке с неверным индексом - юридически допустимо?

Нет, неправомерно. Это Ваша воля. Зарегистрируйте заявление официально. Индекс здесь не причем. Ст.80 Трудового кодекса. Удачи Вам.

Вам главное вручить заявление об увольнении. Если не принимают, то позвоните в Государственную инспекцию по труду Вашего региона. Можно по почте отправить ценным письмом с описью вложенного. Через две недели Вас обязаны будут уволить.

Фирменный бланк предприятия используется для других целей. Напишите заявление на обычном листе бумаги и передайте работодателю не менее чем за две недели до желаемой даты увольнения, указанной в заявлении как последний рабочий день (без всяких предлогов "с" пред датой). Ст. 80 ТК РФ. Пишите в двух экземплярах на втором поставьте у секретаря директора, или в канцелярии, или в отделе кадров отметку о приёме заявления (дата и подпись работника) . Дальнейшие действия или бездействия работодателя вас волновать не должны. В указанный вами день увольнения работодатель обязан издать приказ, выдать полный расчёт и трудовую книжку. Ст. 84.1 ТК РФ.

Если не получаете, то ваши действия однозначны. По окончании срока уведомления вы имеете право прекратить работу. И далее можете обращаться в суд в порядке Ст. 392 ТК РФ. Если на следующий день вы выходите на работу и продолжаете её в ожидании, когда работодатель соизволит оформить документы и выплату, а работодатель не оформил увольнение, то вам придётся все начинать сначала, поскольку в данном случае считается, что ни одна из сторон не потребовала расторжения договора и трудовые отношения продолжаются.