Судебное признание незаконной приватизации - как возместить государству долю в квартире?

Нельзя.

Несовершеннолетние, ставшие собственниками занимаемого жилого помещения в порядке его приватизации, сохраняют право на однократную бесплатную приватизацию жилого помещения в государственном или муниципальном жилищном фонде после достижения ими совершеннолетия.

О какой приватизации вы пишете, называя ее словом "ЭТУ"? Несовершеннолетний ребенок, участвуя в приватизации жилья, никаких самостоятельных действий и решений не предпринимал, следовательно никаких законов не нарушал. Если попытаться признать приватизацию незаконной, то скорее всего речь должна идти о второй приватизации, второй приватизированной квартире.

В принципе, всегда можно в судебном порядке изъять вещь из чужого владения, если владелец является недобросовестным или если имущество получено безвозмездно (бесплатная приватизация).

С иском к нынешним собственникам квартиры в суд должен обратиться орган государственной власти или орган местного самоуправления, либо иной бывший собственник квартиры, заключавший договор приватизации. Захочет ли он этим заниматься - это отдельный вопрос.

Не исключено, что при приватизации второй квартиры имело место мошенничество. Но здесь, полагаю, в силу пропуска срока давности УК РФ бессилен.

Обе приватизации произошли, когда гражданин был несовершеннолетним, а не после достижения совершеннолетия.