Может ли работник скорой помощи написать заявление на отпуск с 01.01.2018 года все же это праздничные дни.

Да, может просить предоставить отпуск с 1 января. При этом нерабочие праздничные дни не включаются в календарные дни отпуска, т.е. отпуск продлевается на количество дней, совпавших с нерабочими праздничными.

Отпуск вне графика предоставляется по соглашению с работодателем.

Любой работник может написать заявление об отпуске с любой даты (если право на такой отпуск у работника существует: например, работник только что принят на работу и право на отпуск он еще не заработал). Другое дело, что при отсутствии ранее согласованного с работодателем графика отпусков, работодатель исходя из возможной производственной необходимости может не согласовать работнику внезапное желание уйти в отпуск, предложив ему для отпуска другое время. Но, по общему правилу работник в любое время, в т.ч. и с 01.01.2018 попросит у работодателя полагающийся отпуск. Однако я полагаю такое заявление об отпуске с данной даты, с учетом праздничных дней с 01.01. по 10.01., крайне неразумным со стороны работника. Если бы я хотел пойти в отпуск именно с 01.01.2018, то я подал бы заявление на отпуск с 11.01.2018 (первый рабочий день после праздников), и получив на это предварительное согласие работодателя (если такого согласия нет, то и нет согласия на отпуск с 01.01.2018), фактически гулял бы с 01.01.2018 и далее. Удачи.