В итоге прописанными в этой квартире остаётся и мать, и становится сын.

Елена, здравствуйте! Да, можно подарить часть доли. НО только не совсем мизерную. Можете себе меньшую оставить, так как Вы УЖЕ в квартире проживаете и зарегистрированы.

Налога нет.

С уважением,

Харченко О.В.

Участник долевой собственности вправе по своему усмотрению продать, подарить, завещать, отдать в залог свою долю либо распорядиться ею иным образом с соблюдением при ее возмездном отчуждении следующих правил. При продаже доли в праве общей собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях. Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, а в праве собственности на движимое имущество в течение десяти дней со дня извещения, продавец вправе продать свою долю любому лицу. При продаже доли с нарушением преимущественного права покупки любой другой участник долевой собственности имеет право в течение трех месяцев требовать в судебном порядке перевода на него прав и обязанностей покупателя. Уступка преимущественного права покупки доли не допускается. Эти правила применяются также при отчуждении доли по договору мены. (ст.ст. 246, 250 ГК РФ)