Могу ли я попросить суд истребовать доказательства по делу, без самостоятельных попыток истребования.

Попросить можете, но суд может отказать.

Уважаемый Дмитрий! Конечно, это Ваше право!

ГПК РФ Статья 57. Представление и истребование доказательств.

1. Доказательства представляются сторонами и другими лицами, участвующими в деле. Суд вправе предложить им представить дополнительные доказательства. В случае, если представление необходимых доказательств для этих лиц затруднительно, суд по их ходатайству оказывает содействие в собирании и истребовании доказательств.

2. В ходатайстве об истребовании доказательства должно быть обозначено доказательство, а также указано, какие обстоятельства, имеющие значение для правильного рассмотрения и разрешения дела, могут быть подтверждены или опровергнуты этим доказательством, указаны причины, препятствующие получению доказательства, и место нахождения доказательства. Суд выдает стороне запрос для получения доказательства или запрашивает доказательство непосредственно. Лицо, у которого находится истребуемое судом доказательство, направляет его в суд или передает на руки лицу, имеющему соответствующий запрос, для представления в суд.

А это смотря какие доказательства. Если, например, Вы хотите получить медицинские данные другого человека, то суду поясните, что сам и не пытался получить их, так как заведомо откажут со ссылкой на медицинскую тайну. А если сведения могут быть получены Вами самостоятельно, то суд может и отказать, со ссылкой на ст.57 ГПК.