Отказала трудовая инспекция в проведении проверки по трудовому спору, мотивируя это отсутствием трудовых отношений. Недосмотр или неправомерное действие?

Статья 83 ТК РФ тут вообще ни при чем.

Возможно, Вы имели в виду статью 383 ТК РФ, но она имеет скорее символическое значение, поскольку указывает, что порядок рассмотрения индивидуальных трудовых споров регулируется настоящим Кодексом и иными федеральными законами, а порядок рассмотрения дел по трудовым спорам в судах определяется, кроме того, гражданским процессуальным законодательством Российской Федерации, при этом, в силу статьи 382 ТК РФ, трудовая инспекция не является органом по рассмотрению индивидуальных трудовых споров.

Между тем, в силу статьи 356 ТК РФ, трудовая инспекция вправе выдавать предписания по результатам проверки. При этом, если при проверке выявлены нарушения трудового законодательства, ГИТ на основании абзаца 6 статьи 357 ТК РФ может выдавать работодателям обязательные для исполнения предписания. В предписании будет содержаться требование не о восстановлении работника, но об отмене нормативного акта, которым были нарушены права работника в случае его незаконного увольнения, а именно об отмене приказа об увольнении. Поскольку ГИТ не наделена полномочиями по восстановлению работников на работе, но вправе выдать предписание об отмене приказа об увольнении, произведенного с нарушением трудового законодательства, то исполнение работодателем такого предписания обязательно, если он не обратится в суд с иском об обжаловании предписания (см. Обзор судебной практики Верховного Суда Российской Федерации за первый квартал 2011 года). Соответственно, если трудовая инспекция не отреагировала на Ваше обращение, Вы вправе обжаловать законность увольнения в суде. Учитывая, что срок на такое обжалование, в силу статьи 392 ТК РФ, составляет 1 месяц со дня увольнения, Вам, вероятнее всего, придется просить в иске о восстановлении пропущенного срока на обращение в суд, дабы Вам не отказали в иске по формальным основаниям. В любом случае, теперь Ваша надежда - только районный суд (можете обратиться и по месту Вашего жительства - пункт 6.3 статьи 29 ГПК РФ). Такие дела.

Трудовой спор решается через суд, там же можно оспорить увольнение, госпошлину платить не надо.