Как проверить наличие договора дарения на квартиру в другом городе, можно ли получить копию этого договора?

Запросите дубликат договора через МФЦ. Дубликат выдадут сторонам договора.

Копию договора может получить любая сторона по данной сделки. В том случае если договор оформлялся в нотариальном порядке, получить копии можно у другой стороны договора (если она согласится добровольно), либо у нотариуса. Основание для второго варианта — статья 44.1. Основ законодательства о нотариате: Нотариально удостоверяемые договоры выдаются участникам договора в количестве экземпляров, соответствующем числу его участников. Нотариально удостоверенные односторонние сделки, а также нотариальные свидетельства выдаются в одном экземпляре. Нотариусы при совершении нотариального действия оставляют в делах нотариальной конторы один экземпляр нотариально удостоверенных завещаний, договоров, нотариальных свидетельств и исполнительных надписей. По усмотрению нотариуса может быть оставлен в делах нотариальной конторы один экземпляр других нотариально удостоверяемых сделок. Лица, указанные в части четвертой статьи 1 настоящих Основ, оставляют в делах соответствующего органа один экземпляр удостоверенных завещаний.

Как правило договор дарения через нотариуса не регистрируется, документы предоставляются в Росреестр. Смотря кто Вы, собственник или прописаны просто, в МФЦ никто не выдаст копию договора, надо обращаться в Росреестр.