Нужно ли составлять какой-то договор?

Договор нужен согласно ст. 582 ГК РФ.

Пожертвованием признается дарение вещи или права в общеполезных целях. Пожертвования могут делаться гражданам, медицинским, образовательным организациям, организациям социального обслуживания и другим аналогичным организациям, благотворительным и научным организациям, фондам, музеям и другим учреждениям культуры, общественным и религиозным организациям, иным некоммерческим организациям в соответствии с законом, а также государству и другим субъектам гражданского права, указанным в статье 124 настоящего Кодекса.

Необходимо осуществлять передачу по акту. В этом случае и БФ сможет отчитаться и образовательное учреждение. У меня тоже БФ, мы именно так делаем. По отчетности ко мне вопросов нет.

Да, договор следует составлять.

"Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая)" от 26.01.1996 N 14-ФЗ (ред. от 01.07.2021, с изм. от 08.07.2021) (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.01.2022)

ГК РФ Статья 582. Пожертвования

Подборка форм: Договоры пожертвования

Как осуществить благотворительное пожертвование

1. Пожертвованием признается дарение вещи или права в общеполезных целях. Пожертвования могут делаться гражданам, медицинским, образовательным организациям, организациям социального обслуживания и другим аналогичным организациям, благотворительным и научным организациям, фондам, музеям и другим учреждениям культуры, общественным и религиозным организациям, иным некоммерческим организациям в соответствии с законом, а также государству и другим субъектам гражданского права, указанным в статье 124 настоящего Кодекса.

Нужно решение учредителя о передаче в собственность фонду имущества.