Имеет ли право фирма не заключать трудовые договора со своими работниками?

Нет, это грубое нарушение закона. В Трудовом Кодексе РФ прямо предусмотрено, что трудовой договор заключается в письменной форме. Обратитесь по данному факту в Федеральную инспекцию труда.

ТК РФ.

" Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя.

Трудовой договор, не оформленный надлежащим образом, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех дней со дня фактического допущения работника к работе.

При заключении трудовых договоров с отдельными категориями работников законами и иными нормативными правовыми актами может быть предусмотрена необходимость согласования возможности заключения трудовых договоров либо их условий с соответствующими лицами или органами, не являющимися работодателями по этим договорам, или составление трудовых договоров в большем количестве экземпляров".

Обратите внимание на ч.2 этой статьи.