Может ли сотрудник МЧС лечится в частной клиннике?

Алексей, конечно имеет полное право. Место работы, даже если государственное учреждение - не имеет никакого значения.

Закон четко дает вам право выбора медицинской организации:

Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации"

Статья 21. Выбор врача и медицинской организации

1. При оказании гражданину медицинской помощи в рамках программы государственных гарантий бесплатного оказания гражданам медицинской помощи он имеет право на выбор медицинской организации в порядке, утвержденном уполномоченным федеральным органом исполнительной власти, и на выбор врача с учетом согласия врача.

Согласно позиции Конституционного Суда РФ, военнослужащие и лица, приравненные по медицинскому обеспечению к таковым, имеют право на получение медпомощи в ведомственных медорганизациях, а при их отсутствии или при отсутствии в последних отделений соответствующего профиля, специалистов либо специального медоборудования – на получение медпомощи в порядке, установленном Правительством РФ, за счет средств федерального бюджета. Согласно Закону о службе в ОВД сотрудник может обратиться и в иные, выбранные им самостоятельно медорганизации (государственные, муниципальные, частные) за получением платных медицинских услуг на основании соответствующего договора или ДМС.