Правомерно ли работодателю требовать заявление на отпуск с увольнением сразу после больничного, если я работаю на 5-ти дневке?

Конечно, неправомерно. Работодатель не может заставить вас написать никакое заявление, т.к. оно является волеизъявлением работника.

Статья 80 ТК РФ закрепляет право работника в любое время расторгнуть трудовой договор с работодателем, предупредив его об этом заблаговременно в письменной форме не менее чем за две недели посредством написания заявления. Это обусловлено необходимостью предоставить работодателю возможность своевременно подобрать на освобождающееся место нового работника. Это же статьей закреплено право работника до истечения срока предупреждения об увольнении отозвать свое заявление (если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому не может быть отказано в заключении трудового договора) , а также право по истечении срока предупреждения об увольнении прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Согласно ст. 127 ТК РФ по письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением . При этом днем увольнения считается последний день отпуска.

При предоставлении отпуска с последующим увольнением при расторжении трудового договора по инициативе работника этот работник имеет право отозвать свое заявление об увольнении до дня начала отпуска, если на его место не приглашен в порядке перевода другой работник.

Увольнение по собственному желанию возможно и в период нетрудоспособности и в период отпуска работника.