Если же он не будет оспаривать завещание, но останется прописанным в квартире, какие в данном случае он имеет права?

Уважаемый Павел! Завещание бабушки её сын сможет оспорить частично, если к моменту открытия наследства достигнет 60 лет или будет иметь инвалидность любой степени, т.к в этом случае он будет иметь право на обязательную долю в наследстве(ст.1149 ГК РФ). Если наследников первой очереди двое: сын и дочь, то обязательная доля -1/4 квартиры. Если на момент приватизации квартиры дядя был в ней зарегистрирован и давал отказ от личного участия в приватизации, то согласно ст.19 ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАКОНА от 29.12.2004 № 189-ФЗ (ред. от 29.12.2006)

"О ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ ЖИЛИЩНОГО КОДЕКСА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ"

выселить его из квартиры без предоставления жилплощади нельзя. Дядя имеет право вселять в квартиру без согласия собственника своих несовершеннолетних детей. Продать квартиру и подарить её, а также завещать собственник может, но с обременением в виде права проживания в ней Вашего дяди. Собственники квартиры или долей в ней могут вселяться без согласия дяди, равно как несовершеннолетние дети собственников, а остальные лица-с его письменного согласия. Если на момент приватизации дядя не был зарегистрирован в квартире, единой семьи с матерью не составлял и только зарегистрирован в квартире, то мать может предъявить иск о выселении по ч.4 ст.31 ЖК РФ.