Какова последовательность шагов, которые нужно предпринять в данном случае?

Уважаемая Людмила! Скажу напрямую: вариант с пропиской никуда не годится. Дело в том, что квартира приватизированная, находится в собственности Вашей бабушки, а для таких квартир самое главное - собственность, а не прописка (не путайте с муниципальным жильем!). Прописка Вам абсолютно ничего не даст, единственный статус, который Вы вследствие прописки приобретете - это статус члена семьи собственника жилого помещения. При этом обратите внимание - наследницей по закону после бабушки Вы не являетесь (Вы можете наследовать после бабушки только при условии, что нет в живых того из Ваших родителей, чьей матерью является Ваша бабушка). Поэтому после открытия наследства Вы уже будете являться членом семьи бывшего собственника жилого помещения, и Ваше право пользования данным жилым помещением вследствие этого просто прекратится (п.2 ст.292 ГК РФ).

Поэтому лучшее, что можно в этой ситуации предпринять, - это составить завещание, указав Вас в качестве наследницы. Понимаю, что это может быть затруднительно с учетом болезни бабушки, но нотариуса можно вызвать к бабушке на дом. В этом случае Ваши интересы будут защищены гораздо лучше. Единственный нюанс - нетрудоспособные (вследствие пенсионного возраста или инвалидности) дети бабушки, если, конечно, таковые есть, будут иметь право на так наз. обязательную долю в наследстве (в размере не менее половины доли, которая им причиталась бы в случае отсутствия завещания).

Другие варианты (дарение, рента), хотя и влекут за собой переход права собственности на квартиру сразу же (а не после смерти) и снимают проблемы с обязательными наследниками, но более трудны и длительны в оформлении, поэтому вряд ли их можно рекомендовать с учетом болезни Вашей бабушки.

С уважением, А.Д.Руслин.