Согласие отца на вывоз ребёнка при разных фамилиях матери и ребёнка - необходимо или нет?

По общему правилу согласие второго родителя не требуется, если ребенок едет с одним из родителей. Однако, если второй родитель не согласен на выезд ребенка за границу, конечно он может подать об этом заявление в ФМС, пограничную службу (ст. 21 №114-ФЗ). Поэтому, чтобы не было проблем на границе, лучше всего такое согласие получить у нотариуса. Также часто требуется перевод такого согласия. Госпошлина за выдачу согласия составляет 100 руб. Помимо этого необходимо оплатить услуги нотариуса.

Также лучше иметь при себе документ подтверждающий смену фамилии матери.

Согласие обоих родителей для детей, являющихся гражданами РФ, нужно только в случае вывоза ребенка за пределы РФ (если ребенок следует без родителей). При возвращении закон не обязывает иметь такое согласие. Правила ввоза детей в иностранные государства и вывоза из этих государств регламентируются законодательством этих государств.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить...

Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти...