И как в данном случаи поступают с правами пребывания ребенка в этой квартире после развода?

Жена претендовать на часть квартиры не может.

Жену вы можете выписать после развода по ч. 4 ст. 31 ЖК РФ как бывшего родственника.

Что касается ребенка, то у него отсутствует документ, удостоверяющий личность, в котором бы указывалось место регистрации, поэтому ребенок считается прописанным по месту одного из родителей, с которым он проживает.

В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию. (ч. 4 ст. 31 ЖК РФ). Согласно ФЗ N 189-ФЗ действие данного положения не распространяется на бывших членов семьи собственника приватизированного жилого помещения при условии, что в момент приватизации данного жилого помещения указанные лица имели равные права пользования этим помещением с лицом, его приватизировавшим (т.е. были там прописаны)