Возможно ли самостоятельно поставить запись о работе водителем в собственной трудовой книжке после закрытия ИП?

Постановление Правительства РФ от 16.04.2003 N 225 (ред. от 25.03.2013) "О трудовых книжках" (вместе с "Правилами ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей")

10. Все записи о выполняемой работе, переводе на другую постоянную работу, квалификации, увольнении, а также о награждении, произведенном работодателем, вносятся в трудовую книжку на основании соответствующего приказа (распоряжения) работодателя не позднее недельного срока, а при увольнении - в день увольнения и должны точно соответствовать тексту приказа (распоряжения).

Да, можете, так как Вы являлись фактически работодателем.

Несмотря на то что ТК РФ обязывает предпринимателей вести на всех работников трудовые книжки, в собственную трудовую ИП не вносит никаких записей.

Индивидуальный предприниматель занимается предпринимательской, а не трудовой деятельностью, и по своему статусу он не является работником, то есть не выполняет трудовую функцию. Так как в трудовую книжку вносятся записи о трудовой, а не предпринимательской деятельности, то на индивидуальных предпринимателей она не ведется.

По работе водителем у ИП запись вносится.

В трудовую книжку нужно вносить записи о: приеме на работу; переводах на другую постоянную работу; увольнении; награждении (поощрении).

В качестве работодателя указывается ФИО ИП – полное и сокращенное.