Можно ли уволить сотрудника, находящегося в отпуске по уходу за ребенком и работающего на неполный рабочий день?

Анна, при указанном в вопросе обстоятельстве, работодатель не вправе вас уволить, в связи с чем, если угрозы продолжатся, обращайтесь с жалобой в прокуратуру в порядке ст. 10 Федерального закона "О прокуратуре Российской Федерации" от 17.01.1992 N 2202-1. Статья 256 ТК РФ Отпуска по уходу за ребенком. По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию. Удачи.

Анна, смотрите ст. 81 ТК РФ, там указаны основания для увольнения по инициативе работодателя.

При этом Вы обладаете защитой от увольнения по

ч. 4 ст. 261 ТК РФ

Расторжение трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет или малолетнего ребенка - ребенка в возрасте до четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье, воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).

Главное - не пишите " по собственному".