Могу ли я прописать маму в квартире, где был квартиросъёмщиком мой папа?

Если достаточно метража в в этой квартире то можете прописать свою маму

Человек, на которого оформлен договор найма, может прописать без уведомления наймодателя, своего супруга или супругу. Аналогичная ситуация касается несовершеннолетних детей нанимателя.

на нее часть квартиры приватизирована

Если квартира приватизирована, то нет квартиросъемщиков-нанимателей, а есть собственники. Мама тоже собственник, прописаться может без вашего согласия. По праву собственности.

Вы всю квартиру на себя не оформите, только долю папы по наследству. Вместе с мамой, если она не откажется от наследства.

Если в отношении квартиры заключался договор приватизации, она уже в собственности. Судя по вашему вопросу, согласно договора приватизации, ваша мама является собственником части квартиры. Вы не только можете ее прописать в этой квартире, но вы даже препятствовать не сможете (если захотите) ей в регистрации по месту жительства в квартире, одним из собственником которой она является.

Если на маму приватизирована часть квартиры Значит она собственник доли и у вас давно уже не договор социального найма разумеется она может сама зарегистрироваться.

Если заключен договор всё-таки социального найма и речь о другой какой-то квартире приватизированной на маму в доле то мама вам близкий родственник никакого метража соблюдать не нужно И никаких проблем с её регистрацией не будет а у неё тогда будут такие же права по договору социального найма как и у вас