Как прописать ребенка без согласия второго родителя и что делать в случае отказа паспортного стола?

Нужно согласие второго родителя.

Не существует никаких законных оснований требовать с заявителя (представителя несовершеннолетнего) согласия второго родителя.

Административный регламент Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденный Приказом МВД России от 31.12.2017 № 984.

согласно пункту 2 указанного регламента (МВД):

2. Заявителями являются:

2.1. Граждане Российской Федерации, достигшие 14-летнего возраста.

2.2. Один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей гражданина Российской Федерации - в отношении несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста или граждан, признанных судом недееспособными (ограниченно дееспособными).

Пункт 57 Административного регламента: Запрещается требовать от гражданина:

57.1. Представления документов и информации или осуществления действий, представление или осуществление которых не предусмотрено нормативными правовыми актами Российской Федерации, регулирующими отношения, возникающие в связи с предоставлением государственной услуги.

Если ребенок прописывается к матери, она должна предоставить паспорт отца ребенка (оригиналы и копии). Этим он и выражает свое согласие. Тоже самое когда ребенок прописывается к отцу — он должен предоставить паспорт матери. С паспортов снимут копии и сразу вернут. П. 50 Приказа МВД №984 — «При регистрации по месту жительства несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста одновременно с заявлением о регистрации по месту жительства законный представитель представляет следующие документы: Паспорта законных представителей».

Не нужно согласие второго родителя. Вам отказали незаконно. Ребенок должен быть зарегистрирован с одним из родителей.