Сдать экзамен и восстановить права без оплаты штрафа - возможно ли это?

Естественно можете.

Здравствуйте

Нет, не сможете. С вас потребуют квитанцию об уплате штрафа.

Иван, не можете. Постановление Правительства РФ от 14.11.2014 N 1191 (ред. от 10.10.2018) "Об утверждении Правил возврата водительского удостоверения после утраты оснований прекращения действия права на управление транспортными средствами". 2. Изъятое водительское удостоверение возвращается лицу, подвергнутому административному наказанию в виде лишения права на управление транспортными средствами (далее - лицо, лишенное права на управление), по истечении срока лишения этого права, успешно прошедшему в подразделении Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации (далее - подразделение Госавтоинспекции) по месту исполнения постановления суда по делу об административном правонарушении проверку знания им правил дорожного движения (далее - проверка), при предъявлении паспорта или иного документа, удостоверяющего личность, при наличии в Государственной информационной системе о государственных и муниципальных платежах информации об уплате в установленном порядке наложенных на него административных штрафов за административные правонарушения в области дорожного движения либо представлении указанным лицом документов, свидетельствующих об уплате таких административных штрафов, а лицам, совершившим административные правонарушения, ... .

Нет, не сможете.