Дальше выговор - за неисполнение трудовых обязанностей, а именно: назначена ответственной за ведение журнала, который не ведется

Уважаемая(ый) Вита.

Нет, не нормально. Нужно выполнить требования ст. 193 ТК РФ.

Если вы работника уволите за неведение журнала, даже соблюдя всю процедуру увольнения(ст. 193 ТК РФ), вероятнее всего работник решением суда будет восстановлен. Взыскание должно соответствовать тяжести проступка. Поищите более серьёзные нарушения.

Увольнение по пункту 5 ст. 81 ТК РФ - неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

Правомерным будет увольнение по этому основанию, если есть одновременно следующие обстоятельства:

1) работник имеет дисциплинарное взыскание за последний рабочий год (наложенное более года назад уже не действует);

2) работник совершил дисциплинарный проступок, т.е. трудовое правонарушение, - не исполнил свою трудовую обязанность без уважительных причин;

3) работодатель затребовал у него письменное объяснение о причинах трудового правонарушения не позднее месяца со дня обнаружения проступка и шести месяцев со дня его совершения (двух лет при ревизии);

4) работодатель учел все его предшествующее поведение, его многолетнюю добросовестную работу, обстоятельства проступка.

Данное основание содержит вину работника, поэтому при увольнении учитываются СТЕПЕНЬ и форма вины (см. пп. 33-35 постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17 марта 2004 г. N 2).

С уважением Тимошенко Владимир Андреевич.